搜索习题
[USACO1.5] 八皇后 Checker Challenge
题目描述
一个如下的 $6 \times 6$ 的跳棋棋盘,有六个棋子被放置在棋盘上,使得每行、每列有且只有一个,每条对角线(包括两条主对角线的所有平行线)上至多有一个棋子。
上面的布局可以用序列 $2\ 4\ 6\ 1\ 3\ 5$ 来描述,第 $i$ 个数字表示在第 $i$ 行的相应位置有一个棋子,如下:
行号 $1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6$
列号 $2\ 4\ 6\ 1\ 3\ 5$
这只是棋子放置的一个解。请编一个程序找出所有棋子放置的解。
并把它们以上面的序列方法输出,解按字典顺序排列。
请输出前 $3$ 个解。最后一行是解的总个数。
输入格式
一行一个正整数 $n$,表示棋盘是 $n \times n$ 大小的。
输出格式
前三行为前三个解,每个解的两个数字之间用一个空格隔开。第四行只有一个数字,表示解的总数。
样例 #1
样例输入 #1
1 | 6 |
样例输出 #1
1 | 2 4 6 1 3 5 |
提示
【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据,$6 \le n \le 13$。
题目翻译来自NOCOW。
USACO Training Section 1.5
题解
思路
经典回溯搜索题,首先遍历行,每一行确定列、主对角线、反对角线的标记。然后当一行确定好后回溯,使得列、主对角线、反对角线的标记归0,再递归遍历。
代码
1 |
|
油滴扩展
题目描述
在一个长方形框子里,最多有 $N$ 个相异的点,在其中任何一个点上放一个很小的油滴,那么这个油滴会一直扩展,直到接触到其他油滴或者框子的边界。必须等一个油滴扩展完毕才能放置下一个油滴。那么应该按照怎样的顺序在这 $N$ 个点上放置油滴,才能使放置完毕后所有油滴占据的总面积最大呢?(不同的油滴不会相互融合)
注:圆的面积公式 $S = \pi r^2$,其中 $r$ 为圆的半径。
输入格式
第一行,一个整数 $N$。
第二行,四个整数 $x, y, x’, y’$,表示长方形边框一个顶点及其对角顶点的坐标。
接下来 $N$ 行,第 $i$ 行两个整数 $x_i, y_i$,表示盒子内第 $i$ 个点的坐标。
输出格式
一行,一个整数,长方形盒子剩余的最小空间(结果四舍五入输出)。
样例 #1
样例输入 #1
1 | 2 |
样例输出 #1
1 | 50 |
提示
对于 $100\%$ 的数据,$1 \le N \le 6$,坐标范围在 $[-1000, 1000]$ 内。
题解
思路
深度搜索题,根据条件我们需要确定是油滴的半径,半径怎么得到呢?需要根据前面油滴的坐标和半径确定当前油滴的半径。然后再dfs搜索,每次遍历,都要求该油滴的半径和面积,然后回溯。最后再用矩形面积减去总的扩展面积。
注意坑:
如果这个油滴在另一个油滴内部,那么这个油滴就不能选择了,就是两个油滴之间的距离要是小于那个油滴的半径,那么就要把该油滴的半径变成0。
代码
1 |
|
填涂颜色
题目描述
由数字 $0$ 组成的方阵中,有一任意形状的由数字 $1$ 构成的闭合圈。现要求把闭合圈内的所有空间都填写成 $2$。例如:$6\times 6$ 的方阵($n=6$),涂色前和涂色后的方阵如下:
如果从某个 $0$ 出发,只向上下左右 $4$ 个方向移动且仅经过其他 $0$ 的情况下,无法到达方阵的边界,就认为这个 $0$ 在闭合圈内。闭合圈不一定是环形的,可以是任意形状,但保证闭合圈内的 $0$ 是连通的(两两之间可以相互到达)。
1 | 0 0 0 0 0 0 |
1 | 0 0 0 0 0 0 |
输入格式
每组测试数据第一行一个整数 $n(1 \le n \le 30)$。
接下来 $n$ 行,由 $0$ 和 $1$ 组成的 $n \times n$ 的方阵。
方阵内只有一个闭合圈,圈内至少有一个 $0$。
输出格式
已经填好数字 $2$ 的完整方阵。
样例 #1
样例输入 #1
1 | 6 |
样例输出 #1
1 | 0 0 0 0 0 0 |
提示
对于 $100\%$ 的数据,$1 \le n \le 30$。
题解
思路
这道题可以用bfs解,题解区的大佬给了一个dfs的思路,很赞,orz。
dfs:首先我们要确定是再闭合圈内的0是需要变成2的。那么闭合圈的0怎么确定呢?从某个0出发,只向上下左右4个方向移动且仅经过其他0的情况下,无法到达方阵的边界,就认为这个0在闭合圈内。知道这个条件,那么只需要将闭合圈外面的0标记成1,然后将原来矩阵中的0标记为0,1标记为2。经过dfs后,剩下标记为0的0就是闭环圈内的0,将其改成2就行了。
代码
1 | dfs代码 |
马的遍历
题目描述
有一个 $n \times m$ 的棋盘,在某个点 $(x, y)$ 上有一个马,要求你计算出马到达棋盘上任意一个点最少要走几步。
输入格式
输入只有一行四个整数,分别为 $n, m, x, y$。
输出格式
一个 $n \times m$ 的矩阵,代表马到达某个点最少要走几步(不能到达则输出 $-1$)。
样例 #1
样例输入 #1
1 | 3 3 1 1 |
样例输出 #1
1 | 0 3 2 |
提示
数据规模与约定
对于全部的测试点,保证 $1 \leq x \leq n \leq 400$,$1 \leq y \leq m \leq 400$。
题解
思路
经典的bfs题型,需要创建队列,用来存储每次待处理的位置信息。通过不断将新的位置入队,根据先进先出的原则逐个处理,确保每次处理的位置是按照其起点的步数递增的顺序处理。因为是象棋中的马,走的方向有8中情况,需要遍历这8种情况。
代码
1 |
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[NOIP2017 普及组] 棋盘
题目背景
NOIP2017 普及组 T3
题目描述
有一个 $m \times m$ 的棋盘,棋盘上每一个格子可能是红色、黄色或没有任何颜色的。你现在要从棋盘的最左上角走到棋盘的最右下角。
任何一个时刻,你所站在的位置必须是有颜色的(不能是无色的), 你只能向上、下、左、右四个方向前进。当你从一个格子走向另一个格子时,如果两个格子的颜色相同,那你不需要花费金币;如果不同,则你需要花费 $1 $ 个金币。
另外, 你可以花费 $2$ 个金币施展魔法让下一个无色格子暂时变为你指定的颜色。但这个魔法不能连续使用, 而且这个魔法的持续时间很短,也就是说,如果你使用了这个魔法,走到了这个暂时有颜色的格子上,你就不能继续使用魔法; 只有当你离开这个位置,走到一个本来就有颜色的格子上的时候,你才能继续使用这个魔法,而当你离开了这个位置(施展魔法使得变为有颜色的格子)时,这个格子恢复为无色。
现在你要从棋盘的最左上角,走到棋盘的最右下角,求花费的最少金币是多少?
输入格式
第一行包含两个正整数 $ m, n$,以一个空格分开,分别代表棋盘的大小,棋盘上有颜色的格子的数量。
接下来的 $ n $ 行,每行三个正整数 $ x, y, c$, 分别表示坐标为 $(x,y)$ 的格子有颜色 $ c$。
其中 $ c=1$ 代表黄色,$ c=0$ 代表红色。 相邻两个数之间用一个空格隔开。 棋盘左上角的坐标为 $(1, 1)$,右下角的坐标为 $( m, m)$。
棋盘上其余的格子都是无色。保证棋盘的左上角,也就是 $(1, 1)$ 一定是有颜色的。
输出格式
一个整数,表示花费的金币的最小值,如果无法到达,输出 -1
。
样例 #1
样例输入 #1
1 | 5 7 |
样例输出 #1
1 | 8 |
样例 #2
样例输入 #2
1 | 5 5 |
样例输出 #2
1 | -1 |
提示
样例 1 说明
棋盘的颜色如下表格所示,其中空白的部分表示无色。
$\color{red}\text{红}$ | $\color{red}\text{红}$ | |||
---|---|---|---|---|
$\color{yellow}\text{黄}$ | ||||
$\color{yellow}\text{黄}$ | $\color{red}\text{红}$ | |||
$\color{yellow}\text{黄}$ | ||||
$\color{red}\text{红}$ |
从 $(1,1)$ 开始,走到 $(1,2)$ 不花费金币。
从 $(1,2)$ 向下走到 $(2,2)$ 花费 $1$ 枚金币。
从 $(2,2)$ 施展魔法,将 $(2,3)$ 变为黄色,花费 $2$ 枚金币。
从 $(2,2)$ 走到 $(2,3)$ 不花费金币。
从 $(2,3)$ 走到 $(3,3)$ 不花费金币。
从 $(3,3)$ 走到 $(3,4)$ 花费 $1$ 枚金币。
从 $(3,4)$ 走到 $(4,4)$ 花费 $1$ 枚金币。
从 $(4,4)$ 施展魔法,将 $(4,5)$ 变为黄色,花费 $ 2$ 枚金币。
从 $(4,4)$ 走到 $(4,5)$ 不花费金币。
从 $(4,5)$ 走到 $(5,5)$ 花费 $1$ 枚金币。
共花费 $8 $ 枚金币。
样例 2 说明
棋盘的颜色如下表格所示,其中空白的部分表示无色。
$\color{red}\text{红}$ | $\color{red}\text{红}$ | |||
---|---|---|---|---|
$\color{yellow}\text{黄}$ | ||||
$\color{yellow}\text{黄}$ | ||||
$\color{white}\text{ }$ | ||||
$\color{red}\text{红}$ |
从 $( 1, 1)$ 走到 $( 1, 2)$,不花费金币。
从 $( 1, 2)$ 走到 $( 2, 2)$,花费 $ 1 $ 金币。
施展魔法将 $( 2, 3)$ 变为黄色,并从 $( 2, 2)$ 走到 $( 2, 3)$ 花费 $ 2$ 金币。
从 $( 2, 3)$ 走到 $( 3, 3)$ 不花费金币。
从 $( 3, 3)$ 只能施展魔法到达 $( 3, 2),( 2, 3),( 3, 4),( 4, 3)$。
而从以上四点均无法到达 $( 5, 5)$,故无法到达终点,输出$-1$。
数据规模与约定
对于 $30\%$ 的数据,$1 ≤ m ≤ 5, 1 ≤ n ≤ 10$。
对于 $60\%$ 的数据,$1 ≤ m ≤ 20, 1 ≤ n ≤ 200$。
对于 $100\%$ 的数据,$1 ≤ m ≤ 100, 1 ≤ n ≤ 1,000$。
题解
思路
bfs+优先队列求解:
先用一个结构体存储棋盘的横纵坐标和颜色以及代价。
然后将用魔法和直接走的两种情况具体化,使得总共要走12种情况,也就是当上下左右碰到空白颜色时,用魔法走的情况,然后再确定它的代价。
最后处理最后一个是否为空白颜色,那么就需要从最后周围两个确定代价更小的路径,然后+2。+2是因为最后为空白,需要用魔法,代价就会+2。如果得到的最小代价趋近于无穷大,则没有路径或无法抵达最后
如果最后有颜色的话直接是输出相应结果。如果最后最小代价趋近于无穷大,则没有路径或无法抵达最后。
代码
1 |
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[SHOI2002] 滑雪
题目描述
Michael 喜欢滑雪。这并不奇怪,因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度,滑的区域必须向下倾斜,而且当你滑到坡底,你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael 想知道在一个区域中最长的滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子:1
2
3
4
51 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一,当且仅当高度会减小。在上面的例子中,一条可行的滑坡为 $24-17-16-1$(从 $24$ 开始,在 $1$ 结束)。当然 $25$-$24$-$23$-$\ldots$-$3$-$2$-$1$ 更长。事实上,这是最长的一条。
输入格式
输入的第一行为表示区域的二维数组的行数 $R$ 和列数 $C$。下面是 $R$ 行,每行有 $C$ 个数,代表高度(两个数字之间用 $1$ 个空格间隔)。
输出格式
输出区域中最长滑坡的长度。
样例 #1
样例输入 #1
1 | 5 5 |
样例输出 #1
1 | 25 |
提示
对于 $100\%$ 的数据,$1\leq R,C\leq 100$。
题解
思路
解法:记忆化搜索
将每次走过的长度保存下来,b[x][y]用来存储走过的长度,初始化为1,因为包括自己本身。然后要判断是否越界。每次取得的为最大的b[x][y]。即答案。
代码
1 |
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